Ecuaciones Diferenciales

El análisis ha sido durante  trecientos años una de las ramas mas importantes de la matematica ,y las ecuaciones deferenciales construyen la parte central del analisis ,ademas es la que mejor permite comprender las ciencias fisicas y la tecnica. las cuestiones que plantean proporcionan una fuente de teoria e ideas que permiten avanzar el pensamiento.

Este libre pretende establecer la relacion que hay etre las matematicas puras y las aplicadas,por lo que es importante considerar  introducir ecuaciones diferenciales presentado muchos ejemplos concretos y situaciones del mundo real.

En la Historia de ecuaciones diferenciales ,sus historiadores fueron :

Jonh Napier :

( 1 550 - 617) cuando invento los logaritmos .vista las tablas confeccionadas por el ,si se utiliza el simbolismo moderno del calculo infinitesimal ,se podia considerar como la resolucion numerica de una ecuacion diferencial.

Galileo Galilei :

( 1 564 - 1 542)  una inportancia mas inmediata que lo infinitamente grande ,puesto que lo nesecitaba en su dinamica .galileo analizo el comportamiento del movimiento de un proyectil con un componente horizontal y uniforme ,y un componente vertical uniformemente acelerado ,consiguiendo demostrar la trayectoria del proyectil ,despreciado la resistencia del aire ,es siempre una parabola .

estudio del problema recorrido por un cuerpo en caida libre y se puede utilizar para su resolucion ecuaciones diferenciales.

Pierre Fermat :

(1601 - 1665) dice laplace que es el verdadero inventor del calculo diferencial 

Las ecuaciones difrenciales aparecen simultaneamente al calculo infinitesimal.

Ejemplo:

aparecio el problema de Tactriz que fue propuesto por rene descartes a fermat que realmente es un problema en curva. 

Isaac Newton :

( 1 642 - 1 727 ) nacio el mismo año que muri galileo .los problemas que motivaron sus descubrimientos fueron el estudio de la dinamica del punto y el solido rigido sus primeros descubrimientos de matematica datan de 1 665 que exploro funciones en serie de potencias  y empézo a pensar en la velocidad del cambio.

El teorema de Cauchy 

Uno de los grandes miembros de la ecuación diferencial.

Y’ = f (x,y)

es analitica en ambas variables x,e y en una vecindad del punto (xo,y0) entoces la ecuacion  posee una solucion (xy) una condicion inicial.

y(xo) =yo

y esta solucion es analitica en una vecindad de xo.

es facil entender que el requeriminento de que f sea analitica es artificial,por lo tanto esta restricion falla en muchos problemas de aplicaciones ,asi como la teoria general es muy exigente.

el problema de rigor en el calculo se pudo establecer en el siglo XIX basicamente por las tres circunstancias siguientes:

I. Existia un algebra de desigualdades bien desarrolladas.

II. El rigor se empezaba a considerar importante .

III. Los conceptos relacionados con la convergencia (limites,series,derivadas,integrales definidas,etc)eran describibles en el lenguaje de las desigualdades.